Sündinud Tallinnas. Tartu Riikliku Ülikooli lõpetas 1959, meditsiinidoktor 1972. Professori ametikohale valiti 1975, Eesti Teaduste Akadeemia liikmeks 1993. Emeriitprofessor 1999.
Ain-Elmar Kaasiku elu ja töö on olnud seotud Tartu Ülikooli närvikliinikuga, kus ta tegutses juba tudengina. Aastal 1961 töötas ordinaatorina, seejärel poliomüeliidiepideemia käigus asutatud hingamiskeskuse juhatajana (1962-64). Närvikliinikut hakkas juhtima 1984. 1996 astus ta kliiinikumi juhataja kohalt tagasi, andes teed järgmisele generatsioonile. Tartu Ülikooli õppejõud aastast 1967, täitnud ka õppeprodekaani ja dekaani kohuseid. Ain-Elmar Kaasik on suurte kogemustega klinitsist - neuroloog ja neurokirurg, kes on kirjutanud ligi 450 teaduspublikatsiooni, sh kolm monograafiat ning osalenud ligikaudu 3000 neurokirurgilisel operatsioonil.
Olnud paljude USA ja Euroopa ülikoolide külalisprofessor. Uppsala ülikooli audoktor (1991), Eesti Vabariigi Presidendi Akadeemilise Nõukogu liige, Eesti Teadus- ja Arendusnõukogu liige, Ameerika Neuroloogia Akadeemia korrespondentliige (1994), New Yorgi Teaduste Akadeemia liige (1996), Briti Kuningliku Meditsiiniseltsi ning Euroopa Teaduste ja Kunstide Akadeemia liige (2000). 1972 sai ENSV riikliku preemia, 2003 pälvis Eesti Vabariigi teaduse elutööpreemia.
Tartu linna aukodanik aastast 2004.